3.333 \(\int (-\sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^m \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ \frac{\sqrt{2} \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^m F_1\left (m+\frac{1}{2};1-n,\frac{1}{2};m+\frac{3}{2};\sec (e+f x)+1,\frac{1}{2} (\sec (e+f x)+1)\right )}{f (2 m+1) \sqrt{1-\sec (e+f x)}} \]

[Out]

(Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1 - n, 1/2, 3/2 + m, 1 + Sec[e + f*x], (1 + Sec[e + f*x])/2]*(1 + Sec[e + f*x])^m*T
an[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0669408, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.095, Rules used = {3826, 133} \[ \frac{\sqrt{2} \tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^m F_1\left (m+\frac{1}{2};1-n,\frac{1}{2};m+\frac{3}{2};\sec (e+f x)+1,\frac{1}{2} (\sec (e+f x)+1)\right )}{f (2 m+1) \sqrt{1-\sec (e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(-Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(Sqrt[2]*AppellF1[1/2 + m, 1 - n, 1/2, 3/2 + m, 1 + Sec[e + f*x], (1 + Sec[e + f*x])/2]*(1 + Sec[e + f*x])^m*T
an[e + f*x])/(f*(1 + 2*m)*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]])

Rule 3826

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> -Dist[((-((
a*d)/b))^n*Cot[e + f*x])/(a^(n - 1)*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[(x^(m - 1/
2)*(a - x)^(n - 1))/Sqrt[2*a - x], x], x, a + b*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^
2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !IntegerQ[n] && LtQ[(a*d)/b, 0]

Rule 133

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*e^p*(b*x)^(m +
1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int (-\sec (e+f x))^n (1+\sec (e+f x))^m \, dx &=\frac{\tan (e+f x) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(1-x)^{-1+n} x^{-\frac{1}{2}+m}}{\sqrt{2-x}} \, dx,x,1+\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=\frac{\sqrt{2} F_1\left (\frac{1}{2}+m;1-n,\frac{1}{2};\frac{3}{2}+m;1+\sec (e+f x),\frac{1}{2} (1+\sec (e+f x))\right ) (1+\sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f (1+2 m) \sqrt{1-\sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.20321, size = 2248, normalized size = 26.45 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(-Sec[e + f*x])^n*(1 + Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-
1 + n)*(-Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*(1 + Sec[e + f*x])^m*Tan[(e + f*x)/2])/(f*(
3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n,
2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((3*2^m*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]
^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n))/(3*AppellF1[1/2, m
+ n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(
e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(-1 + n)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2
]^2)/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2,
m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(
e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-((1 - n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n,
5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, m + n,
1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f
*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f
*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(2*((-1 + n
)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n,
1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-((1 - n)*Appe
llF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 +
((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan
[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, m + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(m + n)*AppellF1[5/2, 1 + m + n, 2 - n
, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (m + n)*((-3*(1 - n)
*AppellF1[5/2, 1 + m + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x
)/2])/5 + (3*(1 + m + n)*AppellF1[5/2, 2 + m + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e
+ f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^
2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[
3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*2^(1 + m)*(m
+ n)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(
Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/
2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.711, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( -\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n} \left ( 1+\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((-sec(f*x+e))^n*(1+sec(f*x+e))^m,x)

[Out]

int((-sec(f*x+e))^n*(1+sec(f*x+e))^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (-\sec \left (f x + e\right )\right )^{n}{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((-sec(f*x+e))^n*(1+sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((-sec(f*x + e))^n*(sec(f*x + e) + 1)^m, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\left (-\sec \left (f x + e\right )\right )^{n}{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((-sec(f*x+e))^n*(1+sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((-sec(f*x + e))^n*(sec(f*x + e) + 1)^m, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (- \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{n} \left (\sec{\left (e + f x \right )} + 1\right )^{m}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((-sec(f*x+e))**n*(1+sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((-sec(e + f*x))**n*(sec(e + f*x) + 1)**m, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (-\sec \left (f x + e\right )\right )^{n}{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((-sec(f*x+e))^n*(1+sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((-sec(f*x + e))^n*(sec(f*x + e) + 1)^m, x)